Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Alexander Schmitt

By Alexander Schmitt

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Es ist die Kongruenz 30 · x ≡ 1 mod 101 zu l¨osen. Die Primzahlen aus der Primfaktorzerlegung von 30 sind 2, 3 und 5. Keine dieser Primzahlen teilt 101, so dass ggT(30, 101) = 1 gilt. Mit dem erweiterterten euklidischen Algorithmus berechnen wir ganze Zahlen y und z, f¨ur die 30 · y + 101 · z = 1 gilt: k ak qk yk zk 0 30 − 1 0 1 101 − 0 1 2 30 0 1 0 3 11 3 −3 1 . 4 8 2 7 −2 5 3 1 −10 3 6 2 2 27 −8 7 1 1 −37 11 8 0 2 − − Es gilt in der Tat −37 · 30 + 11 · 101 = −1110 + 1111 = 1. Der Satz liefert die L¨osungen x ≡ −37 mod 101.

9 Satz. Ein m¨ogliches Schlussfeld ist ein b-Feld“. ” Schließlich nutzen wir die D4 -Symmetrie aus: F¨ur jedes Element h ∈ D4 und jedes Schlussfeld F ist auch h(F) ein Schlussfeld. 10 Satz. Die folgende Abbildung zeigt die m¨oglichen Schlussfelder: b b b b 42 b . 3. Homomorphismen und Isomorphismen Insbesondere erkennt man: • Ein Spiel, das auf einem der a¨ ußeren“ Schlussfelder endet, unterscheidet sich von ” einem Spiel, das auf dem mittleren Feld endet, nur im letzten Zug. • Da bekanntermaßen Spiele existieren, bei denen am Ende ein einziger Stein in der Mitte verbleibt, gibt es f¨ur jedes der markierten Schlussfelder auch ein Spiel, das auf ihm endet.

17 Definitionen. i) Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn ein Element g ∈ G mit G= g existiert. ii) F¨ur g ∈ G ist Ord(g) := ∞, falls gn min{ n ≥ 1 | g = e }, sonst n e f¨ur alle n ≥ 1 die Ordnung von g. 18 Bemerkungen. i) F¨ur eine Gruppe G und ein Element g ∈ G ist evg : −→ G k −→ gk ein Gruppenhomomorphismus. Dabei gilt ⋆ Der Homomorphismus evg ist genau dann injektiv, wenn Ord(g) = ∞. 3, ii). (vgl. Beispiel ii) Eine zyklische Gruppe ist abelsch. ) Der Begriff der Ordnung eines Elements ist ein erstes n¨utzliches Hilfsmittel, um nichtisomorphe Gruppen voneinander zu unterscheiden: Gegeben seien zwei Gruppen G1 und G2 und ein Element g ∈ G1 der Ordnung n ∈ { 1, 2, 3, ...

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